Feb 10, 2005

「相対性理論はやはり間違っていた!」はやはり間違っていた!

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例の相対論間違ってる説に関してだが、最近コメントがなくなってきて、あんまり引っ張ると忘れ去られそうなので、とりあえずナカムラが正解と信じるものを書いておきます。間違えてたら教えてください。まだ自分で考えたいという方は以下は読み飛ばしてください。


以下では棒が静止している系を S 、動いている系を S ' と呼ぶ。ひとつの答えは、 S から見た棒と S ' から見た棒とは別の物理実体というものだ。つまり時間がちょっと違う。で、 S から見た棒と同じものを S ' にもってくると、右と左の端の時間が違うものになる。そうすると、その棒にとっては両方の手を同時に離したのと同等になり、加速されないという結論がだせる。ただ、この答えは「 S に引き戻して考えると同時に手を離したことになる」というのとほぼ同じで、ちょっと面白みに欠けるのではなかろうか?

そこで、 S ' での物理量だけを使って説明をしてみよう。ここでは手で押すというのを「棒の端から運動量を注入する」と考える。棒というのは連続体なので、その運動量を考えるには連続体上の運動量密度を考えることになる (「みみずが潰れる」というコメントはこのへんを暗示していたと思われる、ですよね?)。そうすると相対論的にはエネルギー・運動量4元テンソルを考えることになるが、テンソルになるとちょっとややこしいので、似たようなパラドックスを運動量でなく、流体密度で考えてみよう。

いま、筒の中を時間・空間とも一定のフラックス J で流体が流れているとする。フラックスが一定なので、流れている間は筒の中の流体の量(微視的には構成粒子数)は時間が経ってもかわらない。系 S の時計で時刻 t 0 に、せーので両端にフタをする。同時刻なので、フタをしたあとでも筒のなかの流体量は一定である。(フタをした瞬間に流体がフタにぶつかって、圧縮されたり乱流状態になったりすることはあろうが、フタからもれる流量がゼロなら議論はなりたつことに注意。これはオリジナルの問題の剛体がどうのこうのに似ている。) で、 S ' からみると…(以下略)

ミソは流体の密度・フラックスが4元ベクトル(4形式)であるというところにある。3次元的に書いた密度 ρ とフラックス J J ν =(ρ,J x,J y,J z) という4元ベクトルを構成する。いま、系 S t =t 0 までの密度・フラックスベクトルは ( ρ 0,J 0,0,0) だったとしよう。先述したようにフタをした直後は流体の運動は複雑になるが、十分時間が経つと流体は系 S に対して静止するので、 J ν =(ρ 0,0,0,0) になる。
さて、これを S ' から見てみると、初期状態では密度・フラックスベクトルは J ν '=(ρ',J',0,0)=(u tρ 0+u xJ 0,u xρ 0+u tJ 0,0,0) となる。ここで ( u t,u x,0,0) S S ' の4元相対速度である。 いま系 S ' での筒の長さを L ' 、断面積を σ とすると、この筒の中の流体量 A 0 ' A 0 '=σL'ρ'=σL'(u tρ 0+u xJ 0) であたえられる。両端にフタをしてから十分時間が経ったのちは J 0 =0 になるので、密度・フラックスベクトルは筒の中で一定の J ν '=(u tρ 0,0,0,0) となり、流体量 A ' A '=σL'ρ'=σL'u tρ 0 である。これは A 0 ' とは違う値で、この差 A '-A 0' t L <t<t R の間に閉じられていない右端の口から出ていったわけである。

ここで J 0 があるかどうかで、 S ' からみた筒の中の流体量(粒子数)が違うと言うのがちょっと直観に反する気がするが(しない?)、これは「筒の中の粒子数=筒という4次元空間内での超平面を横切る粒子の世界線の数」と考えると納得できる。

エネルギー・運動量場合もだいたい話は同じだが、運動量が変化してもなぜ速度は一定なのかというのは説明が必要かもしれない。これは相対論では速度の変化だけでなく、質量(=エネルギー)の変化も運動量を変えるということを考えれば理解できる。つまり、棒は S ' で一定の速度で動いているのだが、質量の変化分だけ運動量が変わるのである。

ということで,ベクトルとかエネルギー・運動量とかの物理的下準備てんこ盛りじゃないと説明できないのですが,もっと直観的にすきっとした説明はないでしょうか?

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