Dec 23, 2004

変分法

更新が簡単なweblogということで,今日も書きます。(←あたらしい玩具が嬉しいらしい。)

ここの「解析力学演習で」の項の最後に「今更だが謝る。ごめん。」とあるが,今ごろ謝ってもらってもなあ。ナカムラはこれを読むまで,信じていたではないか…って言っても実は前野氏に教えてもらったわけじゃぜんぜんなくて(前野氏とは面識はありません),自分で勝手に思い込んでいただけです。ありがとうございました,これを読んで勉強になりました。

実は学生時代に解析力学を勉強したときにはそれなりにいろいろ考えたのだが,それ以降,あんまり悩まずにいた。最近,思う所あってシンプレクティク形式なんかの勉強をしているのだが,そのときもなんにも気が付かなかったのはイケナイことであるよなあ。反省。

ところで,ここで使っているソフトについて,昨日書いた以外にもいろいろ不明のところがでてきた。アンテナはどこに張ったらいいのか,とか特定の記事への固定リンクのアドレスはどうするのか,とか。近日中に調べてご報告します。

Comments and Trackbacks

変分法

あのへんを混乱している人が多いのは知っていて、いつも講義では、しつこく、しつこく、やっています。ある人が解析力学の教科書を書いたので原稿を見てくれと言ってもってきたものに、同じような誤解がもろに書いてあって「なんで、あなたが(ろくにわかってもいないのに)解析力学の教科書を書くのだ」と糞味噌に言ったこともありました。ぼくより年長の、いわゆる一つの「偉い教授」ですけど。(こういうところに、教科書出版のいい加減さが現れるんですが、ま、それは別の話。)
変分法で混乱が生じる最大の理由は、記号法をさぼっているからです。¥dot{x} での微分、などというのは、どうがんばってもまともには解釈できないもの。ぼくの場合、まず Lagrangian を L(u,x) のように二変数関数と書き、まずこれを u で偏微分して、最後に u=¥cdot{x}(t), x=x(t)を代入する、という書き方をします。こうやって、独立変数と、関数を区別することで概念的混乱はぐんと減る。もちろん普通の書き方も「汚れた大人の書き方」として教え、実際の計算では、そっちを使う。

Posted by たざき at 2004/12/02 (Thu) 23:54:32

あれま?

まるで、あらしですな。わし。
しかし、Post を連打したりはしていないんだけどな。何が起きたんだ?

Posted by たざき at 2004/12/03 (Fri) 00:16:11

RE:あれま?

今日は授業がないので,朝ゆっくりと喫茶店で仕事をして(ナカムラの研究の8割くらいは喫茶店でなされる)大学に来てみると,なんと! weblogサイトが荒されとる! と思ってよくみると,たざきさんの貴重なコメントがなぜか3重投稿になっていたのでありました。原因はよくわかりませんが,はじめの二つを消しておきました。コメントありがとうございました。

たしかに,今われわれが使っている数式の記法っていろいろ不具合があって,とくに微分の変数とテンソルの添え字にはいつも不便を感じてます。で,問題はナカムラがそのへんをちゃんと認識していたにもかかわらず,解析力学の変分法をまじめに考えていなかったことで,まだまだ修行が足りないと反省しております。

Posted by 中村 at 2004/12/03 (Fri) 11:05:05

微分の記号

は駄目ですね。抽象的な変数と変数に何かを代入したものを区別しない姿勢が定着してしまった弊害が強くでてしまう。
f'(x) という何気ない記号が実はきわめて優れているというのも、偏微分で不便な思いをして痛感することです。

Posted by たざき at 2004/12/07 (Tue) 16:52:21

ああこんなところでも変分法が。

 気がついてなくてコメント遅れました。田崎さんにはメールもいただいて、どうも。

 私は授業では、

L(x+δ,\dot{x}+\dot{δ})-L(x,\dot{x})

というのをしつこく書いて、「今計算しているのはこれだ。これをδが小さいからと展開して

∂L/∂x δ + ∂L/∂\dot{x} \dot{δ}

とかやっているが、決して

L(x+δ,\dot{x})-L(x,\dot{x})

とか、

L(x,\dot{x}+\dot{δ})-L(x,\dot{x})

を別々に計算しているんじゃないんだぞ!」ということを強調します。微分の記号のダメさ加減の罠に落ちないように、「ちょっと違うものとの差を取る引き算」というもともとの定義を思い出させているつもりです。
 とはいえ、この誤解の生じる原因が「微分の記号のダメさ」にあり、というのは私はしっかり認識してませんでした。そういえば確かに「微分した後でその変数を○○と置く」みたいな計算が苦手な人は多くて、そういう質問もよく受けます。

 今度からは田崎さんの言葉を借りて、「∂L/∂\dot{x}というのは大人の汚い記号だから惑わされるな!」と教えてやることにしようと思います。


Posted by いろもの物理学者 at 2004/12/08 (Wed) 00:14:26

あれま?2

 今度は私のが二つだぶった。Postは一回しか押してないはずだけど、書き込み終わった後でページをリロードしたせいかな?
 消しておいてくださいますか>中村様

Posted by いろもの物理学者 at 2004/12/08 (Wed) 01:11:53

RE: あれま?2

おお,コメントありがとうございます。2重投稿は訂正しておきました。なにか不調ですね。近日中にログを解析して原因究明します。

しかし,このようなディープなコメントが多いと,数式を表示できる仕組みをなんとかした方がいいでしょうか。


Posted by 中村 at 2004/12/08 (Wed) 10:23:39

関数の書き方も困っている

もっとプリミティブなとこで困ってます。
四則演算の優先順位を決めるための( )と
a(x+h) = ax + ah
関数の引数を囲む( )がおなじ( )であるために
f(x) =
f(x+h) =
区別がつかない1年生がけっこういて
奴らが困るので困っている。
f(x+h) = f(x)+f(h) よくある
sin(x+h) = sin(x)+sin(h) これもよくある
f(x)+g(x) = (f+g)(x) 見たときはちょっとびっくりした
sin(x)/cos(x) = sin/cos 約分したんだね
だからtan(x)がでてくるとすべてtan(1)にされる

ファインマンもsin()というのはsかけるiかけるnみたいだから
いやだったというが、
自分が学生の時困ってなかったのは
fやgなら多分関数だな
という根拠の無い(?)馴れのためであったか

exp(ix) = cos(x) + i sin(x) をおしえたところ
次から
exp(ax) = cos(x) + a sin(x)
exp(bx) = cos(x) + b sin(x)
とかかれて参ったこともある。いろいろ油断できません

Posted by naka at 2004/12/09 (Thu) 10:38:07

ふたたび解析力学

ナウなヤングの間では解析力学の噂でもちきりだが(意味不明)、昨日、用があって大学の図書館に行ったついでに、世の解析力学の教科書にはなんと書いてあるのかと思って眺めてみた。

Posted by 極端大仏率 Returns! at 2004/12/09 (Thu) 15:06:04

トラックバックのテスト

上の「ふただび解析力学」というやつは,トラックバック機能のテストのために自分の記事にpingしてみたものです。これじゃ,コメントとトラックバックの区別がつかないなあ。ちなみにリンク先の記事はPostet by の次の「極端大仏率 Returns!」をクリックしてください。f(x)+g(x) = (f+g)(x)はウケタ。

Posted by 中村 at 2004/12/09 (Thu) 15:10:02

細かいことですが

f(x)+g(x) = (f+g)(x) についてですが、この標識自体は、単に関数の和を表していて、わりとよく使うのではと思います。(Mapleとかを使う時とか。学生の人がそのつもりで書いたのではないとは思いますが。)
皆さんは解っていて書いているのかもしれませんが、気になったので書いてみました。

Posted by 通りすがり at 2004/12/22 (Wed) 02:46:03
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