Jan 04, 2005

ふたたび解析力学

ナウなヤングの間では解析力学の噂でもちきりだが(意味不明)、昨日、用があって大学の図書館に行ったついでに、世の解析力学の教科書にはなんと書いてあるのかと思って眺めてみた。ナカムラの大学には物理系の学科がないので、解析力学の本は3冊しかなかったのだが、その中の「なっとくする解析力学」に以下のような記述があった。

さらに対象の力学的自由度が f なら …中略… 2 f 個の変数で状態を表すことができる。…中略… (が,しかし) 運動学的状態は位置、速度だけでなく、加速度を知らなくてもいいのか、と思いたくなる。これはまことにもっともな疑問であるが運動とは瞬間的には位置と速度で表現できるのだ、とここはいささか強引に認めてもらう以外はなさそうだ。

なぜ位置と速度の二つで十分かは、ナカムラでも学生のころから知っているわい,もとの運動方程式が時間に関して2階微分だから、積分定数をふたつ決めれば解が決まるからじゃ,と思って読みながらふと考えたのだが,じゃあ,もし,運動方程式の微分が3階以上だったら解析力学ってできるんだろうか? ちょっとやってみると,最高次の微分が偶数階だったらそれらしいラグランジュアンはできそう。でもちょっと汚い。ハミルトニアンは無理矢理には作れそうだが,「ホンモノ」じゃないだろうなあ。

ところで,解析力学の教科書ってたいがい仮想仕事の原理からはじめてるが,あれはわかりにくくありません?

  1. 作用というスカラー量が極値をとるという事実は座標系によらない。
  2. 適当に作用を決めて,ある座標系(具体的にはデカルト座標系)で、それの極値を求める方程式を書いてみたら,たまたま運動方程式に一致した。
  3. だとすると、どんな座標系でも極値をもとめる式(オイラー・ラグランジュ方程式)を解けば運動方程式の解が得られる → ウマー

と説明されるほうが,すっきりしていると思うのだが…。で,その応用として,拘束条件がある場合を計算して,余力があれば,これは仮想仕事の原理で説明できて,歴史的にはこっちが先だったんだ,と教える方がよくないですか? それとも、上のナカムラの理解がどっかまちがってる?

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